בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5טריגונומטריה 571 · שיעור 57

קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5

שיעור 56 – בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5

פרק 7 – 10 שאלות בגרות 571 – טריגונומטריה (שאלה 5)

1נוסח השאלה

2סעיף א – הצלעות AB ו־BC

3סעיף ב – מציאת x

4סעיף ג – מציאת R

📄 נוסח השאלה

המשולש ABC חסום במעגל שרדיוסו R.

המשיק למעגל בנקודה B חותך את המשך הצלע CA בנקודה D (ראו סרטוט).

נתון: ∢DBC = 120 , ∢ABD = x.

א. הביעו באמצעות R ו־x את אורך הצלע AB ואת אורך הצלע BC.

נתון: S_BDCS_BDA = 1.8.

📄 נוסח השאלה · המשך

ב. מצאו את x.

נתון גם: רדיוס המעגל החוסם את המשולש BDA הוא 4.

ג. מצאו את R.

(בשאלון הזווית ABD מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה באות x.)

סעיף א – הצלעות AB ו־BC

BD משיק ב־B, ו־BA מיתר. הזווית ACB היא זווית היקפית על המיתר AB:

📐 זווית בין משיק למיתר

∢ACB = ∢ABD = x

הנקודה A על הקטע DC, ולכן הקרן BA בתוך הזווית DBC:

∢ABC = ∢DBC − ∢ABD

נציב ∢DBC = 120 ו־∢ABD = x (נתון):

∢ABC = 120 − x

📐 זווית בין משיק למיתר

שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני

סעיף א – הצלעות AB ו־BC · המשך

∢ABC = 120 − x

∢BAC = 180 − ∢ACB − ∢ABC

📐 סכום זוויות במשולש

נציב ∢ACB = x ו־∢ABC = 120 − x:

∢BAC = 180 − x − (120 − x) = 60

משפט הסינוסים במשולש ABC (המעגל החוסם שלו הוא המעגל הנתון):

ABsin∢ACB = 2R

📐 משפט הסינוסים

📐 סכום זוויות במשולש

180

📐 משפט הסינוסים

asin A = 2R

סעיף א – הצלעות AB ו־BC · המשך

ABsin∢ACB = 2R

📐 משפט הסינוסים

נציב ∢ACB = x:

ABsin x = 2R

AB = 2R sin x

BCsin∢BAC = 2R

📐 משפט הסינוסים

נציב ∢BAC = 60:

📐 משפט הסינוסים

asin A = 2R

📐 משפט הסינוסים

asin A = 2R

סעיף א – הצלעות AB ו־BC · המשך

נציב ∢BAC = 60:

BCsin60 = 2R

BC = 2R sin60 = 2R · √32

BC = √3R

בסרטוט (בקנה מידה, עם הערך של x מסעיף ב): המעגל, המשולש ABC והמשיק BD (סגול):

✅ פתרון סופי: AB = 2R sin x , BC = √3R

סעיף ב – מציאת x

למשולשים BDC ו־BDA יש אותו גובה מ־B לישר DC, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

S_BDCS_BDA = DCDA = 1.8

📐 משולשים עם גובה משותף

הזוויות במשולש BDA:

∢BAD = 180 − ∢BAC

נציב ∢BAC = 60:

∢BAD = 180 − 60 = 120

📐 משולשים עם גובה משותף

יחס השטחים = יחס הבסיסים

סעיף ב – מציאת x · המשך

∢BAD = 180 − 60 = 120

∢ADB = 180 − ∢BAD − ∢ABD

נציב ∢BAD = 120 ו־∢ABD = x:

∢ADB = 180 − 120 − x = 60 − x

משפט הסינוסים במשולש BDA:

DAsin∢ABD = ABsin∢ADB

סעיף ב – מציאת x · המשך

DAsin∢ABD = ABsin∢ADB

נציב ∢ABD = x ו־∢ADB = 60 − x:

DAsin x = ABsin(60 − x)

📐 משפט הסינוסים

DA = AB · sin xsin(60 − x)

משפט הסינוסים במשולש BDC, שבו ∢DBC = 120 ו־∢BCD = x:

DCsin∢DBC = BCsin∢BDC

📐 משפט הסינוסים

asin A = bsin B

סעיף ב – מציאת x · המשך

DCsin∢DBC = BCsin∢BDC

נציב ∢DBC = 120 ו־∢BDC = ∢ADB = 60 − x:

DCsin120 = BCsin(60 − x)

📐 משפט הסינוסים

DC = BC · sin120sin(60 − x)

נחלק:

DCDA = BC · sin120AB · sin x

📐 משפט הסינוסים

asin A = bsin B

סעיף ב – מציאת x · המשך

DCDA = BC · sin120AB · sin x

נציב BC = √3R , sin120 = √32 ו־AB = 2R sin x:

DCDA = √3R · √322R sin x · sin x

DCDA = 34sin²x

נציב DCDA = 1.8 (נתון):

34sin²x = 1.8

סעיף ב – מציאת x · המשך

34sin²x = 1.8

sin²x = 37.2 = 512

sin x = √512 ≈ 0.6455

x זווית במשולש BDA עם x < 60, ולכן חדה:

x ≈ 40.2

✅ פתרון סופי: x ≈ 40.2

סעיף ג – מציאת R

משפט הסינוסים במשולש BDA, שרדיוס המעגל החוסם שלו 4. הצלע AB מול הזווית ADB = 60 − x:

ABsin(60 − x) = 2 · 4

📐 משפט הסינוסים

AB = 8sin(60 − x)

נציב x ≈ 40.2:

AB = 8sin(60 − 40.2)

AB = 8sin19.8 ≈ 2.71

📐 משפט הסינוסים

asin A = 2R

סעיף ג – מציאת R · המשך

AB = 8sin19.8 ≈ 2.71

מסעיף א:

AB = 2R sin x

נציב AB = 8sin19.8 ו־x ≈ 40.2:

2R · sin40.2 = 8sin19.8

R = 4sin19.8sin40.2

סעיף ג – מציאת R · המשך

R = 4sin19.8sin40.2

R ≈ 2.1

הערך המדויק:

R = 2√4.2 − 2 ≈ 2.099

✅ פתרון סופי: R ≈ 2.1

📌 סיכום התשובות

סעיף א

AB = 2R sin x
BC = √3R

סעיף ב

x ≈ 40.2

סעיף ג

R ≈ 2.1

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא